平衡树的平衡条件和旋转操作

平衡树（AVL 树/SB 树/自平衡二叉排序树）前提是一棵二叉排序树，“平衡”的意义是每个节点的左右子树变得均匀，不出现左右失衡的情况。平衡，可以提高树的搜索效率。举一个例子，依次插入 1~5 到二叉排序树：

节点1左右失衡，树退化为链表平衡后，节点3成为根节点

本文介绍两种平衡树，包括它们对平衡的定义、平衡操作和相关代码：

AVL 树 (Adelson-Velsky and Landis Tree)
SB 树 (Size Balanced Tree)

AVL 树

自平衡条件：平衡因子 = 左子树层数 – 右子树层数，平衡因子为 0、±1 的结点被认为是平衡的。

自平衡方式：插入（或删除）新结点后，如果不满足自平衡条件，就要进行旋转操作。

旋转操作分四种：

LL 型：如果新增元素插入到左儿子的左子树中，则进行右旋操作。
LR 型：如果新增元素插入到左儿子的右子树中，则进行左旋加右旋操作。
RR 型：如果新增元素插入到右儿子的右子树中，则进行左旋操作。
RL 型：如果新增元素插入到右儿子的左子树中，则进行右旋加左旋操作。

举例说明 RR 型（LL 型同理）

插入元素6后，不再平衡左旋，4成为新的根结点，原4的左孩子接到了2的右子树上

举例说明 LR 型（RL 型同理）

插入元素3后，不再平衡先左旋再右旋

SB 树

自平衡条件：每个结点所在子树的结点个数不小于其兄弟的两个孩子所在子树的结点个数（AVL 树比较的是层数，而 SB 树比较的是结点的多少）。

自平衡方式：SB Tree 只有在插入时才可能触发调整，而不需要在删除结点以后进行调整。旋转操作类似于 AVL 树。

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#include <iostream>

using namespace std;

class SBTNode {
public:
  int data, size, value;
  SBTNode *lchild, *rchild, *father;
  SBTNode(int init_data, int init_size = 0, SBTNode *init_father = NULL);
  ~SBTNode();
  void insert(int value);
  SBTNode *search(int value);
  SBTNode *predecessor();
  SBTNode *successor();
  void remove_node(SBTNode *delete_node);
  bool remove(int value);
};

class BinaryTree {
private:
  SBTNode *root;
public:
  BinaryTree();
  ~BinaryTree();
  void insert(int value);
  bool find(int value);
  bool remove(int value);
};

SBTNode ZERO(0);
SBTNode *ZPTR = &ZERO;

SBTNode::SBTNode(int init_data, int init_size, SBTNode *init_father) {
  data = init_data;
  size = init_size;
  lchild = ZPTR;
  rchild = ZPTR;
  father = init_father;
}

SBTNode::~SBTNode() {
  if (lchild != ZPTR) {
    delete lchild;
  }
  if (rchild != ZPTR) {
    delete rchild;
  }
}

SBTNode *left_rotate(SBTNode * node) {
  SBTNode *temp = node->rchild;
  node->rchild = temp->lchild;
  temp->lchild->father = node;
  temp->lchild = node;
  temp->father = node->father;
  node->father = temp;
  temp->size = node->size;
  node->size = node->lchild->size + node->rchild->size + 1;
  return temp;
}

SBTNode *right_rotate(SBTNode *node) {
  SBTNode* temp = node->lchild;
  node->lchild = temp->rchild;
  temp->rchild->father = node;
  temp->rchild = node;
  temp->father = node->father;
  node->father = temp;
  temp->size = node->size;
  node->size = node->lchild->size + node->rchild->size + 1;
  return temp;
}
// node 表示要调整子树的根结点
// flag 用来标记是处理左子树更高的情况还是右子树更高的情况
SBTNode *maintain(SBTNode *node, bool flag) {
  if (flag == false) {  // 左子树更高
    if (node->lchild->lchild->size>node->rchild->size) {
      // LL 的情况
      node = right_rotate(node);
    }
    else if (node->lchild->rchild->size>node->rchild->size) {
      // LR 的情况
      node->lchild = left_rotate(node->lchild);
      node = right_rotate(node);
    }
    else {
      return node;
    }
  }
  else {  // 右子树更高
    
    if (node->rchild->rchild->size>node->lchild->size) {
      // RR 的情况
      node = left_rotate(node);
    }
    else if (node->rchild->lchild->size>node->lchild->size) {
      // RL 的情况
      node->rchild = right_rotate(node->rchild);
      node = left_rotate(node);
    }
    else {
      return node;
    }
  }
  // 执行完旋转操作，要递归地对左右子树和当前子树进行调整
  node->lchild = maintain(node->lchild, false);
  node->rchild = maintain(node->rchild, true);
  node = maintain(node, false);
  node = maintain(node, true);
  return node;
}

SBTNode *insert(SBTNode *node, int value) {
  if (value == node->data) {
    return node;
  }
  else {
    node->size++;
    if (value > node->data) {
      if (node->rchild == ZPTR) {
        node->rchild = new SBTNode(value, 1, node);
      }
      else {
        node->rchild = insert(node->rchild, value);
      }
    }
    else {
      if (node->lchild == ZPTR) {
        node->lchild = new SBTNode(value, 1, node);
      }
      else {
        node->lchild = insert(node->lchild, value);
      }
    }
  }
  return maintain(node, value > node->data);
}

SBTNode *SBTNode::search(int value) {
  if (data == value) {
    return this;
  }
  else if (value > data) {
    if (rchild == ZPTR) {
      return ZPTR;
    }
    else {
      return rchild->search(value);
    }
  }
  else {
    if (lchild == ZPTR) {
      return ZPTR;
    }
    else {
      return lchild->search(value);
    }
  }
}

SBTNode *SBTNode::predecessor() {
  SBTNode * temp = lchild;
  while (temp != ZPTR && temp->rchild != ZPTR) {
    temp = temp->rchild;
  }
  return temp;
}

SBTNode *SBTNode::successor() {
  SBTNode *temp = rchild;
  while (temp != ZPTR && temp->lchild != ZPTR) {
    temp = temp->lchild;
  }
  return temp;
}

void SBTNode::remove_node(SBTNode *delete_node) {
  SBTNode *temp = ZPTR;
  if (delete_node->lchild != ZPTR) {
    temp = delete_node->lchild;
    temp->father = delete_node->father;
    delete_node->lchild = ZPTR;
  }

  if (delete_node->rchild != ZPTR) {
    temp = delete_node->rchild;
    temp->father = delete_node->father;
    delete_node->rchild = ZPTR;
  }
  if (delete_node->father->lchild == delete_node) {
    delete_node->father->lchild = temp;
  }
  else {
    delete_node->father->rchild = temp;
  }
  temp = delete_node;
  while (temp != NULL) {
    temp->size--;
    temp = temp->father;
  }
  delete delete_node;
}

bool SBTNode::remove(int value) {
  SBTNode *delete_node, *current_node;
  current_node = search(value);
  if (current_node == ZPTR) {
    return false;
  }
  size--;
  if (current_node->lchild != ZPTR) {
    delete_node = current_node->predecessor();
  }
  else if (current_node->rchild != ZPTR) {
    delete_node = current_node->successor();
  }
  else {
    delete_node = current_node;
  }
  current_node->data = delete_node->data;
  remove_node(delete_node);
  return true;
}

BinaryTree::BinaryTree() {
  root = NULL;
}

BinaryTree::~BinaryTree() {
  if (root != NULL) {
    delete root;
  }
}

void BinaryTree::insert(int value) {
  if (root == NULL) {
    root = new SBTNode(value, 1);
  }
  else {
    root = ::insert(root, value);
  }
}

bool BinaryTree::find(int value) {
  if (root->search(value) == NULL) {
    return false;
  }
  else {
    return true;
  }
}

bool BinaryTree::remove(int value) {
  return root->remove(value);
}

int main() {
  BinaryTree binarytree;
  int arr[10] = { 8, 9, 10, 3, 2, 1, 6, 4, 7, 5 };
  for (int i = 0; i < 10; i++) {
    binarytree.insert(arr[i]);
  }
  int value;
  cin >> value;
  if (binarytree.find(value)) {
    cout << "search success!" << endl;
  }
  else {
    cout << "search failed!" << endl;
  }
  cin >> value;

  if (binarytree.remove(value)) {
    cout << "delete success!" << endl;
  }
  else {
    cout << "delete failed!" << endl;
  }
  return 0;
}